窗函数是减少泄露的有效手段之一，它通过对时域信号进行加权，将采集到的信号块由非周期信号转变为周期信号，使其满足傅里叶变换的周期性要求。

加窗的方法就是对采集到的信号进行时域加权：

x_{win}(n) = x(n) * win(n)

根据傅里叶变换的性质可知，时域信号加窗，相当于信号频谱与窗函数频谱的卷积。

常用的窗函数主要有：

– 矩形窗
– 汉宁窗
– 平顶窗
– blackman-harris
– kaiser-bessel

矩形窗

矩形窗上各点均是1，也就是不加窗。

w(n) = 1, n\in[0, n-1]

其中n为索引，n为采样点数，其时域和频域如下图所示：

 汉宁窗

w(n) = 0.5(1-cos(\frac{2{\pi}n}{n-1})), n\in[0, n-1]

平顶窗

w(n) = (1-1.93cos(\frac{2{\pi}n}{n-1}) 1.29cos(\frac{4{\pi}n}{n-1})-0.388cos(\frac{6{\pi}n}{n-1}) 0.0322cos(\frac{8{\pi}n}{n-1}))/4.634, n\in[0, n-1]

blackman-harris

w(n) = 0.35875 - 0.48829cos(\frac{2{\pi}n}{n-1}) 0.14128cos(\frac{4{\pi}n}{n-1})-0.01168cos(\frac{6{\pi}n}{n-1})

kaiser-bessel

w(n) = 0.40243 - 0.49804cos(\frac{2{\pi}n}{n-1}) 0.09831cos(\frac{4{\pi}n}{n-1})-0.00122cos(\frac{6{\pi}n}{n-1})

窗函数的影响

因为加窗相当于对被测信号频域上的卷积，结果相当于将窗函数频谱平移到原信号频谱后的加权叠加，也就是将原频域信号沿着窗函数频域曲线泄露了出去，窗函数的主瓣宽度和旁瓣衰减直接影响了窗函数的性能。

考虑到数字信号处理仅计算n{\delta}f各点的值，因此当被测信号频率靠近n{\delta}f时泄露较小，而靠近(n 1/2){\delta}f时泄露较大。

窗函数的主瓣宽度越大，频谱的幅值就越接近被测信号，但是同时距离较近的频率就越难被分辨出来。旁瓣衰减的越快则由旁瓣带来的泄露也越小。

 总结

窗函数的区别主要考虑其主瓣宽度和旁瓣衰减。主瓣的顶部宽度越宽，对幅值测量的精度越高。主瓣宽度和旁瓣的衰减同时影响频率的分辨能力，主瓣宽度越小、旁瓣衰减越快，对频率的分辨能力越强，泄露的程度就越小。在使用过程中应该根据测试的实际情况选择合适窗函数。通常情况下矩形窗适合被测信号自身可以保证整周期采样的情况，如力锤敲击等；随机信号可选用汉宁窗，可以同时兼顾幅值精度和分辨能力；平顶窗适合校准等幅值需要精确测量的情况。